Curso de Introducción al conocimiento científico experimental*

 

 

 Capítulo 17 

                                                                                          

Expresión matemática y estadística de resultados experimentales

 

por  Dra. Celia E. Coto

                                                                                                                   

 

Introducción

 

         No es nuestra intención asustar al lector con la palabra estadística, porque lo que discutiremos en este capítulo tiene carácter elemental. Por otra parte,, los lectores con conocimientos sobre el tema no deben ilusionarse por encontrar soluciones a sus problemas. Más que ofrecer fórmulas pretendemos despertar la reflexión sobre el tratamiento de los resultados obtenidos en el laboratorio, porque no hay que engañarse, la experimentación científica requiere del uso de las matemáticas.

         En forma alternada con otros conocimientos hemos ido brindando algunas nociones sobre  el tratamiento de datos, en especial en el capítulo 11, en el que se presentaron las distintas formas de visualizar los resultados obtenidos en un trabajo experimental destacando la importancia de la elección de un gráfico para la mejor comprensión de lo que se quiere demostrar. En este capítulo ofreceremos ejemplos del tratamiento de datos y mencionaremos algunos tests estadísticos que por su complejidad deberán ser estudiados en libros o cursos especializados. Afortunadamente, existen programas de computación accesibles que permiten realizar, en forma fácil, gráficos y tratamientos de datos. Sin embargo, lo indispensable es saber qué y por qué se pide un cálculo determinado. 

 

Números logarítmicos

 

Para expresar muchos de los resultados experimentales hay que recurrir a los números logarítmicos. Algunos fruncirán el ceño, pero pensemos que John Napier, un matemático escocés rebautizado Neper, los inventó en 1614. ¿Cómo nos vamos asustar de algo que se conoce desde hace casi 400 años? La idea de Neper fue reducir tanto las multiplicaciones como las divisiones a simples sumas y restas. Para ello asoció a cada número «X» su «logaritmo» (log X). La relación entre ambos verifica que: a) el logaritmo del producto de dos números «X» e «Y» es la suma de sus logaritmos.
b). el logaritmo del cociente de dos números «X» e «Y» es la resta de sus logaritmos. El logaritmo natural de Neper es el cálculo inverso del exponencial.

Definición: El logaritmo en base a de un número n, es otro número b, tal que cumple esta ecuación: ab = n

Veamos un ejemplo fácil: si tenemos que n= 100 y la base del log es 10, entonces el log10 de 100 es 2, porque 102 (10 x 10) es 100, puesto en ecuación será: log10 100 = 2, y para volver a pasar al número natural será el antilogaritmo de 2 es 100.  La base más generalizada en el cálculo de los logaritmos es 10 ó base decimal. Sin embargo, en el análisis matemático es muy importante el cálculo con base 'e = 2,71828....'.  Los logaritmos cuya base es el número 'e' reciben el nombre de 'logaritmos neperianos' en consideración a Neper. Se denotan con el símbolo 'ln'. Existían antes de los programas de computación tablas impresas en las que estaban tabulados los números y sus logaritmos correspondientes y también el papel semilogarítmico en el que una escala es decimal y la otra logarítmica. Recuerden que una vez que han usado el logaritmo de un número pueden volver al número natural buscando el antilogaritmo.

 En la ciencia experimental se aplican los logaritmos en distintas situaciones, una de ellas es cuando se analizan los resultados de un experimento en el que se trabaja con diluciones seriadas. Las más comunes son las diluciones en base 10, pero en serología, por ejemplo, se usan las diluciones en base 2. Cuando una sustancia se diluye en forma seriada de modo de obtener diluciones de la misma de 1/10; 1/100; 1/1000; 1/10.000 y 1/100.000, son las potencias de 10n. Si fueran diluciones en base dos, tendríamos 1/2; 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 y así utilizando las potencias de 2n.

Diferencias entre la escala decimal y la escala logarítmica

Cuando representamos en un gráfico los datos obtenidos en un experimento en el que se utilizaron diluciones al décimo, en una de las escalas se representarán dichas diluciones o su inversa (concentraciones) y en la otra los valores que se obtuvieron para cada dilución. Si las divisiones de la escala son 0, 1, 10, 100, 1000, 10.000 y 100.000, tenemos que tener en cuenta que no es posible dividir en segmentos iguales. Así por ejemplo, tendremos una escala que va de 0 a 1; 1 a 10; 10 a 100; 100 a 1000; 1000 a 10.000 y 10.000 a 100.000. Si bien es posible que las divisiones mayores se numeren de esa forma, los intervalos que indican no pueden ser subdivididos a su vez en diez partes por la sencilla razón de que cada intervalo tendrá distintos valores. Si bien la diferencia resulta obvia, quizás sea mejor explicarla, así cada división del intervalo de 1 a 10 valdrá 1; pero cada división entre 10 y 100 valdrá 10 y, en cambio, cada división entre 10.000 y 100.000 valdrá 10.000, con lo que la graficación de los valores intermedios es incorrecta, salvo para los valores que coinciden con las divisiones mayores. Por eso, en estos casos es necesario utilizar logaritmos de modo que ahora las divisiones mayores de la escala quedarán en 0, 1, 2, 3, 4 y 5, que son los logaritmos respectivos de la serie de potencias de 10n y dentro de cada intervalo en lugar de una escala lineal tendremos una escala logarítmica. Cada intervalo está también dividido en 10 partes, pero no son iguales, como se puede observar en la tabla de logaritmos que se puede consultar en el apéndice de este capítulo. Estas explicaciones parecen muy elementales, pero en mi experiencia como científica me he encontrado en muchas oportunidades con representaciones equivocadas o que algunos estudiantes no sabían el porqué del uso de los números logarítmicos, indispensables cuando se manejan números muy grandes.

Variables

         Se puede decir que variables son propiedades físicas o químicas que pueden ser medidas, controladas y manipuladas durante un proceso de investigación. Toda investigación empírica se puede inscribir dentro de dos categorías: la de correlación y la de experimentación. Cuando se practica  investigación de correlación, se mide por ejemplo la relación entre la concentración de colesterol en sangre y la presión arterial (es un ejemplo cualquiera), es decir, se eligen dos variables y se las relaciona sin modificarlas. En este caso no podemos decir que una dependa de la otra. En cambio, en la investigación experimental, se eligen variables, se las modifica y se observa el efecto que tiene su modificación sobre otras variables. Es el principio de la causalidad, es decir, la relación causa-efecto se basa en la relación del efecto que los cambios en una variable tienen sobre una determinada propiedad. Las variables pueden ser de tiempo, temperatura, presión, concentración de una sustancia y otras. Las aplicaciones son muy numerosas y son la base de la experimentación científica.

         En el campo de la experimentación podemos asegurar que si cada vez que cambiamos la variable A cambia la B, ambas están relacionadas. En consecuencia, también se podría decir que los cambios de A causan los cambios de B. Veamos ejemplos: a temperatura ambiente el agua es líquida, a 0º C es sólida, y a 100º C se convierte en vapor. Es fácil concluir que el estado del agua depende de la temperatura a la que esté sometida. Si se tiene un líquido que contiene 10.000 bacterias, se lo calienta a 50º C por 10, 20 y 60 minutos,  luego se cuenta el número de bacterias después de cada período de calentamiento y se encuentran los valores: 500, 50 y 5 bacterias respectivamente, es válido pensar que la efectividad del calentamiento a 50º C para matar las bacterias depende del tiempo de calentamiento.

 

Conjunto de datos. Población

         Cuando se dispone de un conjunto de datos se pueden realizar algunos cálculos matemáticos sencillos que ayudan a su análisis y sirven, en especial, para fines comparativos con otros grupos de datos de similar origen. El tratamiento de datos en la investigación experimental varía según la clase de experimento en cuestión, lo principal es poder tener confianza en los resultados obtenidos y para ello muchas veces es necesario recurrir al cálculo estadístico. Así, si encontramos una droga capaz de proteger al 100% de los animales tratados contra una infección y ensayamos otra droga que solo protege al 10% de los animales, la diferencia es tan contundente que únicamente deberemos repetir el experimento en idénticas condiciones por lo menos tres veces para asegurar sin dudas que la primera es mejor que la segunda. Pero a veces los resultados no son tan opuestos  y encontramos diferencias del 10% o menos. En ese caso, aunque también tendremos que repetir el experimento para estar seguros, habrá que agregar un cálculo matemático de errores que nos permita conocer el grado de confianza con el que estamos trabajando o, dicho de otro modo, saber si los resultados son significativos o no. Conviene recordar que siempre que se experimenta se cometen errores propios de las técnicas y métodos usados. Por otra parte, cualquier experimento que incluya reacciones químicas o biológicas no siempre se reproduce de la misma forma, ya que,  por más que se trate de repetir todo de la misma manera, siempre ocurre un imponderable, por eso suele darse el valor promedio de varios experimentos y los márgenes de error por debajo o por encima del valor hallado.

 

Medidas aplicables a un conjunto de datos

         Dado un conjunto de datos y en especial ante una gran cantidad de datos que se utilizan al realizar un estudio estadístico se hace necesario resumir toda la información en unos pocos datos para ello se pueden calcular las llamadas medidas de posición central y las medidas de no posición central.

 

 Medidas de tendencia central: La tendencia central se refiere al punto medio de una distribución de variables. Las medidas de tendencia central se conocen como medidas de posición.

Media: la media es el punto en una distribución de medidas, alrededor de la cual las desviaciones sumadas son iguales a cero. Es el valor promedio ponderado de una muestra o población. La media es muy sensible a mediciones extremas que no estén balanceadas en ambos lados.                                                                      

Las medidas de tendencia central comúnmente empleadas son :

 

*          Media aritmética

*          Media geométrica

*         Mediana

*          Moda (no se discutirá)

*          Media armónica (no se discutirá)

 

Media aritmética: la media aritmética es el promedio comúnmente más usado, este puede ser simple o ponderado. La media aritmética simple está dada por la fórmula SX/n que significa: la suma de todos los valores dividida por el número de datos.

Por ejemplo:

10, 13, 10, 13, 14, 10, 13, 10, 15  la media aritmética es: 108/10= 10,8

Media aritmética ponderada: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite (frecuencia). La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:

Xm =

(X1 * n1) + (X2 * n2) + (X3 * n3) + .....+ (Xn-1 * nn-1) + (Xn * nn)

---------------------------------------------------------------------------------------

n

 

La expresión matemática general de la media aritmética se expresa así:

 

Siendo  xi  el valor de la variable (1,2,3,etc.) y ni el valor (1,2,3, etc.) de la frecuencia, mientras que n es la suma de las frecuencias absolutas. El signo sigma mayúscula quiere decir sumatoria, los valores extremos de esa sumatoria van desde 1 hasta k. Cada vez que vean una x con un raya arriba es la forma de indicar que se trata de la media, o a veces quiere decir x promedio.

 

Veamos un ejemplo: se quiere comparar el día de muerte promedio que producen dos toxinas en ratones adultos. Para ello se realiza el siguiente experimento:  se dispone de dos grupos de 20 ratones cada uno. El primer grupo se inocula con la toxina A y al segundo grupo con la toxina B, todos los días, por un período de 10 días. Se registra el número de animales muertos, es necesario trabajar en condiciones de una mortalidad del 100% de los animales. Los resultados se tabularon en el cuadro 17.1

El cálculo de la media aritmética  presenta el problema de que su valor se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad. Por esta razón, cada vez que se hace un experimento como el descrito hay, que fijar un intervalo de observación dentro del que se registra la mortalidad. Si por ejemplo dejamos

Cuadro 17.1 comparación del día promedio de muerte entre toxinas A y B

Día de muerte

Toxina A: número de muertos

Toxina B: número de muertos

1

0

0

2

0

0

3

4

0

4

6

3

5

8

4

6

2

6

7

0

4

8

0

3

9

0

0

10

0

0

Total animales muertos

20

20

 

Cálculo para la toxina A:

XmA (día promedio de muerte) = (4x3)+ (6x4) + (8x5) +(2x6)/20= 88/20=4,4

Cálculo para la toxina B:

Xm B (día promedio de muerte)= (3x4)+ (4x5)+ (6x6) + (4x7) + (3x8)/20=  120/20= 6

Podemos concluir que la toxina A es más poderosa que la toxina B porque los animales mueren en promedio más rápidamente: 4,4 días contra 6 días.

los animales en observación por seis meses y entre 20 animales uno muere a ese tiempo la inclusión de ese dato puede distorsionar los resultados si es que sabemos que una droga mata en promedio en cinco días.

 

Media geométrica: dada una serie n de valores, la media geométrica es la raíz enésima del producto de todos los valores de la serie. Dicho de otro modo se multiplican entre sí los valores que resultan del producto de la variable por su frecuencia y al producto final se le calcula la raíz n (siendo n el total de datos de la muestra). Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica. Esta última es menos sensible que la media aritmética ante la presencia de valores extremos por su carácter de producto. La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores.

Sean los números 3,4,9 y 12 se necesita calcular la media geométrica, cabe aclarar que como este sistema de cálculo resulta muy difícil de emplear, máxime cuando son números grandes o largas series de datos, en la práctica se recurre a los logaritmos.

Siendo xg (media geométrica) = antilog (S log xi)/n,

la xg del ejemplo se calcularía así :

xg = antilog ( log 3 + log 4 + log 9 + log 12 ) / 4

                                         

xg = antilog (0,477 + 0,602 + 0,954 + 1,079 )/4

 

xg= antilog (3,112/4)

xg= antilog 0,778

si nos fijamos en la tabla de logaritmos del apéndice encontramos que el antilogaritmo de ese número es 6, por lo tanto xg= 6.

 

            En el laboratorio de investigación la media geométrica se aplica cuando se desea establecer la concentración inhibitoria 50% de una droga. Por ejemplo, calcular cuántos microgramos de una droga son capaces de inhibir el 50% de una población viral. Ya habíamos visto en capítulos anteriores que el cálculo de la concentraciones letales o inhibitorias 50% son necesarias a los efectos comparativos de las potencias de drogas u otros productos.

Mediana: La mediana toma en cuenta la posición de los datos y se define como el valor central de una serie de datos o, más específicamente, como un valor tal que no más de la mitad de las observaciones son menores que él y no más de la mitad son mayores. Es decir, la mediana de una serie de datos

se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de los valores son inferiores y otro 50% son superiores). El valor de la mediana no presenta el problema de estar influido por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido). Para su cálculo, el primer paso es ordenar los datos de acuerdo con su magnitud, luego se determina el valor central de la serie y esa es la mediana. Si el número de datos es par, existirán dos valores centrales y entonces la mediana se obtiene sacando el promedio de ellos. Por ejemplo : 7, 8, 8, 10, 12, 19, 23 Med = 10     3, 4, 4, 5, 16, 19, 25, 30 Med = (5+16)/2 = 10,5   

En el gráfico 17.1 hemos representado los datos de un experimento destinado a conocer el efecto antiviral de un producto obtenido de una planta (MA) sobre la encefalitis producida en ratones hembras por inoculación intravaginal del virus herpes simples tipo 2 (HSV-2). Cada punto del gráfico muestra el título (cantidad de virus en el cerebro de los ratones sacrificados al día 10  post-infección, expresado en unidades formadoras de placas por mililitro. Nótese que la escala y es logarítmica lo que significa que entre los valores 0-1; 1-2; 2-3; 3-4; y 4-5 no hay una división decimal sino log.

Figura 17.1 Valores de los títulos de HSV-2 en el cerebro de las ratonas sacrificadas a los 10 días post-infección. Tratamiento 1 corresponde al control, animales inoculados sin tratamiento (control); 2 corresponde a los animales inoculados con la misma dosis pero tratados con MA.

Como se puede observar la mediana se muestra como una línea horizontal y nos estaría diciendo que la administración del compuesto hizo descender el título de virus, en promedio, en 1 logaritmo. Desde el punto de vista biológico estos datos indican que la droga tiene un efecto antiviral.  Pero a nosotros nos interesa el tratamiento de los datos, se ve a simple vista que son muy dispersos y muy alejados entre sí lo que impediría otro tipo de representación y el cálculo de la media aritmética o geométrica. Conviene aclarar que cada punto representa el título de virus en el cerebro de un animal (expresado en unidades formadoras de placas), los valores que están por debajo del valor 1 pueden ser valores negativos o no, porque  cuando no se encuentran placas utilizando la mayor concentración de virus no se puede decir que no haya virus sino que el número de partículas está por debajo del valor de detección del método.

Histograma.

A diferencia de las medidas de posición central que reflejan el valor promedio de un conjunto de mediciones, un histograma permite observar en forma rápida cómo es una determinada distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua. Habitualmente se representa la frecuencia observada en el eje Y, y la variable, en el eje X. La escala del eje correspondiente a la variable se rotula con los límites inferiores de notación de las clases consideradas, a diferencia de los gráficos de barras que vimos en el capítulo 11, las barras van contiguas y no separadas, por la naturaleza continua de la variable de clasificación. En el gráfico de la figura 17.2 se ha representado un ejemplo imaginario que no tiene que ver con un resultado de laboratorio pero que permite sacar conclusiones rápidamente observando la forma del histograma. Se trata de un estudio sobre las edades de una muestra de 1000 personas que asistieron a un recital de los Rolling Stones. En el eje Y se representa el número de personas y en el X los intervalos de edades considerados.

                                                                                                                       

Figura 17.2 Distribución por edades de los asistentes a un recital de rock and roll.

Se puede deducir a simple vista que el 50% de los asistentes al recital tenían entre 30 y 40 años. También se pueden realizar otras deducciones respecto a quienes gustan de este legendario grupo de rock. La distribución en este caso tiene un aspecto simétrico que se conoce como distribución normal y que en matemáticas se conoce con el nombre de campana de Gauss.  Esquemáticamente la figura con forma de campana sería la que muestra la figura 17.3 y es la campana habitual que representa la variabilidad debida a causas aleatorias.

Figura 17.3 curva de frecuencias simétrica de tipo gaussiano.

Medidas de desviación promedio

Las descripciones más comprensivas de la dispersión de datos son aquellas que tratan con la desviación promedio con respecto a alguna medida de tendencia central. Dos de tales medidas son la varianza y la desviación estándar. Ambas medidas nos dan una distancia promedio de cualquier observación del conjunto de datos con respecto a la media de la distribución.

La varianza de una variable aleatoria (azarosa) es una medida de su dispersión estadística, indicativa de cómo sus posibles valores se distribuyen alrededor del valor esperado. La varianza representa la media aritmética de las desviaciones de la media elevadas al cuadrado. Si atendemos a la colección completa de datos (la población en su totalidad) obtenemos la varianza poblacional y si por el contrario si consideramos sólo a una muestra de la población obtenemos en su lugar la varianza muestral. Las fórmula de la varianza es: 

s 2 = å (x - m )2 / N

s 2 = varianza de la población.       x = elemento u observación.

m = media de la población.     N = número total de elementos de la población.

 

Las unidades de la varianza  son el cuadrado de las unidades de los datos. Estas unidades no son intuitivamente claras o fáciles de interpretar. Por esta razón, hay que hacer un cambio matemático aplicado a la varianza para calcular una medida útil de la desviación, que sea menos confusa. Esta medida se conoce como la desviación estándar, y es la raíz cuadrada de la varianza. La desviación estándar, entonces, está en las mismas unidades que los datos originales.

Desviación estándar (El término desviación estándar fue incorporado a la estadística por Karl Pearson en 1894).

    Una vez entendida la formulación de la varianza podemos pasar a obtener la desviación estándar, tomando la raíz cuadrada positiva de la varianza. Así, si efectuamos la raíz de la varianza muestral obtenemos la desviación típica muestral y si por el contrario efectuamos la raíz sobre la varianza poblacional obtendremos la desviación típica poblacional.

 


                        Ös 2 =   Ö  å (x - m )2 / N

  

La raíz cuadrada de un número positivo puede ser tanto positiva como negativa. Cuando tomamos la raíz cuadrada de la varianza para calcular la desviación estándar, los estadísticos solamente consideran la raíz cuadrada positiva.

Usos de la desviación estándar

La desviación estándar nos permite determinar, con un buen grado de precisión, dónde están localizados los valores de una distribución de frecuencias con relación a la media. El teorema de Chebyshev (Pafinity L. Chebyshev matemático ruso 1821-1894) dice que no importa qué forma tenga la distribución (véase la figura 17.3 y consultar bibliografía para ver otro tipo de formas de distribuciones que son asimétricas), al menos 75% de los valores caen dentro de + 2 desviaciones estándar a partir de la media de la distribución, y al menos 89% de los valores caen dentro de + 3 desviaciones estándar a partir de la media.

Dicho de otro modo:

â Aproximadamente el 68% de los valores de la población cae dentro de + 1 desviación estándar a partir de la media.

â Aproximadamente el 95% de los valores estará dentro de + 2 desviaciones estándar a partir de la media.

â Aproximadamente 99% de los valores estará en el intervalo que va desde tres desviaciones estándar por debajo de la media hasta tres desviaciones estándar por arriba de la media.

Ejemplo del uso de  la desviación estándar para representar resultados experimentales

        El experimento consistió en determinar si en presencia de dos concentraciones distintas de la droga vanadato de sodio, se revertía el efecto inhibidor sobre la replicación del virus de la estomatitis vesicular (VSV) de un compuesto de origen vegetal (MAS).

        Para conocer la respuesta,  se realizó un experimento con monocapas de células de riñón de mono que se  infectaron con virus VSV en presencia o ausencia de las droga y de diferentes concentraciones del antiviral MAS. Luego se determinó la presencia de virus en cada cultivo después de 24 horas de incubación, titulando los sobrenadantes (el líquido que recubre a las células) para determinar la cantidad de virus presente. Para ello se realizaron a partir de un pequeño volumen de líquido (0,2 mL) diluciones sucesivas al décimo en medio de cultivo (ver primera parte de este capítulo) y luego se plaquearon sobre monocapas nuevas. *Ver al final del capítulo una fotografía de placas de virus.  Al cabo de dos días se revelaron y contaron las placas y se calculó la cantidad de virus presente teniendo en cuenta el volumen utilizado y la dilución donde se contaron las placas. Se asume que cada placa fue producida por una partícula de virus, es decir, una unidad formadora de placa (UFP). De esta manera se pudo construir un gráfico como el de la figura 17.4. ¿Cómo se construyó el gráfico? En principio utilizando un programa de la computadora, pero ¿qué datos se le suministró al programa? Cada punto dibujado en el gráfico resultó del promedio de tres lecturas y las barritas de error, hacia arriba y abajo del punto es el resultado de sumar o restar s al promedio, es decir el valor promedio ±  s. De no dibujarse esas barras de error, la interpretación de los resultados cambiaría. El gráfico muestra que la inactivación del virus (caída de UFP) es concentración-dependiente a mayor concentración de MAS menor el número de UFP (línea negra). El agregado de vanadato en concentraciones de 10 mg (línea roja) o de 20 mg (línea verde) no cambia la cinética de inactivación y salvo para el punto de = 0,30 mg de MAS, el resto de los puntos caen dentro de los errores. El último punto no es tampoco significativo porque hay solo una diferencia de 10 placas. De no haber dibujado los errores hubiéramos pensado que la presencia de 10mg de vanadato interfería con la acción antiviral.

Este es un ejemplo aplicado a un experimento virológico, cualquiera sea el tipo de experimento en que realicen un gráfico con sus datos tendrán que tener en cuenta el promedio y la desviación estándar para construir su curvas en forma correcta.

Figura 17.4. Efecto de la presencia del vanadato de sodio sobre la acción antiviral de MAS. Gentileza Dra. Andrea Barquero.

 

 

 

Bibliografía.

 

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm

 

http://www.southlink.com.ar/vap/metodologia.htm

 

W http://en.wikipedia.org/wiki/Estándar_deviation

 

 

 

* Placas de virus

 

En una microplaca de poliestireno estéril de seis pocillos se siembran células que crecen en monocapas y luego se infectan con virus. Los datos se obtienen por duplicado. En la hilera de la izquierda se sembró la mayor concentración de virus, la segunda y tercera hilera se sembraron con diluciones al décimo seriadas respecto de la primera hilera. Las manchas transparentes indican que las células fueron lisadas (destruidas) por el virus, se ven a simple vista porque la monocapa se tiñó con un colorante, son las unidades formadoras de placas (UFP). A los efectos de calcular el título del virus (se asume que cada placa fue producida por una partícula de virus) se usa la hilera del medio,  porque en la primera hay placas que confluyen ( se superponen) por lo tanto el contaje es inexacto y en la tercera hay muy pocas placas. Siempre debe haber una relación lineal entre las tres diluciones, así en las placas del medio podemos contar alrededor de 52 placas o sea que en la dilución anterior esperaríamos más de 500 y en la posterior alrededor de 5 que es lo que se ve.  Esta fotografía se obtuvo de;  http://pathmicro.med.sc.edu/mhunt/replicat.htm

 

 

* Este curso es una contribución de Química Viva educativa  (e-Lab) a la propagación del conocimiento científico entre los estudiantes de la escuela secundaria. Departamento de Química Biológica. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 

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ISSN 1666-7948
www.quimicaviva.qb.fcen.uba.ar

Revista QuímicaViva
Revista Electrónica del Depto. de Química Biológica, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, Argentina. 
quimicaviva@qb.fcen.uba.ar 
 

 

Apéndice.

 

Tabla de logaritmos.

                                                                                    

 

Número

 

Logaritmo

Logaritmo neperiano

 

 

 

1

0,000000

0,000000

2

0,301030

0,693147

3

0,477121

1,098612

4

0,602060

1,386294

5

0,698970

1,609438

6

0,778151

1,791759

7

0,845098

1,945910

8

0,903090

2,079442

9

0,954243

2,197225

10

1,000000

2,302585

11

1,041393

2,397895

12

1,079181

2,484907

13

1,113943

2,564949

14

1,146128

2,639057

15

1,176091

2,708050

16

1,204120

2,772589

17

1,230449

2,833213

18

1,255273

2,890372

19

1,278754

2,944439

20

1,301030

2,995732

21

1,322219

3,044522

22

1,342423

3,091042

23

1,361728

3,135494

24

1,380211

3,178054

25

1,397940

3,218876

26

1,414973

3,258097

27

1,431364

3,295837

28

1,447158

3,332205

29

1,462398

3,367296

30

1,477121

3,401197

31

1,491362

3,433987

32

1,505150

3,465736

33

1,518514

3,496508

34

1,531479

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